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[讨论] 绳子固定在杆上旋转的曲线问题

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发表于 2019-6-30 13:26:01 | 显示全部楼层 |阅读模式

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绳子固定在杆上旋转的曲线问题

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-6-30 14:40:59 | 显示全部楼层
不是悬链线么

点评

杆旋转,不会是悬链线。  发表于 2019-6-30 14:46
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-7-1 14:24:16 | 显示全部楼层
直觉上来看,不一定能稳定下来。如果角速度足够大,使得重力加速度相比下来非常小,从而使得绳子张力与离心力形成准平衡。此外,这个中间过程还跟初始时刻绳子的摆放位置形状和速度等相关(比如,若刚开始身子自然下垂静止,那么旋转起来时,绳子必然贴着棍子形成螺旋线,随着角速度增大,末端开始飞离壁面,逐渐蔓延到整个绳子)。当然,也许存在一个非常特殊的初始条件,恰好形成了平衡,绳子形状不再变化,那么这个时候的绳子形状就已经根据初始条件而确定了。
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发表于 2019-7-1 16:14:41 | 显示全部楼层
做实验观察吧
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-7-1 16:52:21 | 显示全部楼层
题目已经说了稳定状态下求解,那就不管怎么稳定下来的,反正最后就是重力和张力的合力提供了向心加速度。
但怎么求解我也不会。

点评

大佬,这个涉及到奇点。贝塞尔函数。柔软,,,坑。平衡方程咋列?  发表于 2019-7-1 17:17
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-7-1 18:56:34 | 显示全部楼层
合力与张力决定曲率NDSolve[{2 (4 (-2 + x) (y^\[Prime]\[Prime])[x]^2 +
      Derivative[1][y][x]^2 (6 (-2 + x) (y^\[Prime]\[Prime])[x]^2 - 5
\!\(\*SuperscriptBox[\(y\),
TagBox[
RowBox[{"(", "3", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x]) - 5
\!\(\*SuperscriptBox[\(y\),
TagBox[
RowBox[{"(", "3", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x] +
      Derivative[1][y][
        x] (2 (y^\[Prime]\[Prime])[x] + 5 (y^\[Prime]\[Prime])[x]^2 -
         2 (-2 + x)
\!\(\*SuperscriptBox[\(y\),
TagBox[
RowBox[{"(", "3", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x]) +
      2 Derivative[1][y][x]^3 ((y^\[Prime]\[Prime])[x] - (-2 + x)
\!\(\*SuperscriptBox[\(y\),
TagBox[
RowBox[{"(", "3", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x])) == 0, y[0] == 0, y'[0] == 1.24,
  y''[0] == 0.01}, y, {x, 0, 2}]
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发表于 2019-7-1 18:58:56 | 显示全部楼层
重力10,角速度2
棍子粗0,棍子粗度不影响曲线,假设曲线固定在棍子中心
QQ图片20190701185711.png
QQ图片20190701185715.png

点评

没有变化,角速度慢线更陡,正常  发表于 2019-7-1 21:47
角速度变化看看曲线有变化吗  发表于 2019-7-1 21:26
J A Hanna 2013 J. Phys. A: Math. Theor. 46 235201  发表于 2019-7-1 21:24
你的结果与实验对比下看看。文献说是螺线。  发表于 2019-7-1 21:22
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发表于 2019-7-4 11:25:54 | 显示全部楼层
除了J A Hanna 2013 J. Phys. A: Math. Theor. 46 235201这篇,之前也有一些研究,比如
Kolodner, I. I. (1955). Heavy rotating string—a nonlinear eigenvalue problem. Communications on Pure and Applied Mathematics, 8(3), 395–408.
COOMER, J., LAZARUS, M., TUCKER, R. W., KERSHAW, D., & TEGMAN, A. (2001). A NON-LINEAR EIGENVALUE PROBLEM ASSOCIATED WITH INEXTENSIBLE WHIRLING STRINGS. Journal of Sound and Vibration, 239(5), 969–982.

数学上,这个问题的解是一个非线性偏微分方程(波动方程)组\[\rho\frac{\partial^2 \boldsymbol r}{\partial t^2}=\rho \boldsymbol g+\frac{\partial}{\partial s}\left(T\frac{\partial \boldsymbol r}{\partial s}\right),\\\boldsymbol g=(0,0,g),\quad\boldsymbol r=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),\quad T=T(s,t)\]满足旋转稳定条件\[x(s,t)=\xi_0(s)\cos \omega t,\quad y=\xi_0(s)\sin \omega t,\quad z(s,t)=z(s),\quad T(s,t)=T(s)\]以及边界条件\[x(0,t)=x_0,\quad y(0,t)=y_0,\quad z(0,t)=0,\quad T(l,t)=0\]的解(其中l为绳长,T为张力,s为沿着绳子方向的长度)。
但该方程无法求出解析表达式。通过方程分析可知,绳子的形状根角速度的大小、重力加速度、绳长、绳子密度有关,当然,如果初始条件变化,结果也会不同。
为了方便研究,可以进行不同的假设,得到特殊结果。比如,假设曲线在同一旋转平面内(x或y为常数),或者假设位于一个柱面内(`\xi_0(s)`为常数),或者假设角速度足够大绳子足够长(从而重力加速度相对很小),或者密度非常大等。
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